ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 58397
Тема:    [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]
Сложность: 6+
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что если a, b, c и d — длины последовательных сторон выпуклого четырехугольника ABCD, а m и n — длины его диагоналей, то m2n2 = a2c2 + b2d2 - 2abcd cos(A + C) (Бретшнейдер).

Решение

Докажем сначала, что если u, v, w, z — комплексные числа, причем u + v + w + z = 0, то

| uw - vz|2 = | u + v|2| v + w|2.

В самом деле,

| uw - vz| = | uw + v(u + v + w)| = | u + v| . | v + w|.


Пусть комплексные числа u, v, w, z соответствуют векторам $ \overrightarrow{AB}$, $ \overrightarrow{BC}$, $ \overrightarrow{CD}$, $ \overrightarrow{DA}$. Тогда | u + v|2| v + w|2 = m2n2 и

| uw - vz|2 = (uw - vz)($\displaystyle \bar{u}$$\displaystyle \bar{w}$ - $\displaystyle \bar{v}$$\displaystyle \bar{z}$) = | uw|2 + | vz|2 - (uw$\displaystyle \bar{v}$$\displaystyle \bar{z}$ - $\displaystyle \bar{u}$$\displaystyle \bar{w}$vz).

Так как | uw|2 = a2c2 и | vz|2 = b2d2, то остается доказать, что

uw$\displaystyle \bar{v}$$\displaystyle \bar{z}$ - $\displaystyle \bar{u}$$\displaystyle \bar{w}$vz = 2abcd cos(A + C).

Для этого достаточно проверить, что аргумент числа uw$ \bar{v}$$ \bar{z}$ равен ±($ \angle$A + $ \angle$C). Остается заметить, что аргумент числа u$ \bar{v}$ (соответственно w$ \bar{z}$) равен ±$ \varphi$, где $ \varphi$ — угол между векторами u и v (соответственно w и z).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 29
Название Аффинные преобразования
Тема Аффинная геометрия
параграф
Номер 3
Название Комплексные числа
Тема Связь величины угла с длиной дуги и хорды
задача
Номер 29.029

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .