Информация о задаче

Задача 58402

Тема:

[

Связь величины угла с длиной дуги и хорды

]

Сложность: 6+
Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

На сторонах аффинно правильного многоугольника A₁A₂...A_n с центром O внешним образом построены квадраты A_{j + 1}A_jB_jC_{j + 1} (j = 1,..., n). Докажите, что отрезки B_jC_j и OA_j перпендикулярны, а их отношение равно 2 $\bigl($ 1 - cos(2 $\pi$ /n) $\bigr)$ .

Решение

Установим соответствие между точками плоскости и комплексными числами так, чтобы точка O совпала с нулем. Тогда B_j - A_j = - i(A_{j + 1} - A_j) и C_j - A_j = - i(A_j - A_{j - 1}) (см. рис.; мы считаем, что A₀ = A_n и A_{n + 1} = A₁). Вычитая второе равенство из первого, получаем B_j - C_j = - i(A_{j - 1} + A_{j + 1} - 2A_j). Но согласно задаче 29.8.1 A_{j - 1} + A_{j + 1} = 2 cos(2 $\pi$ /n)A_j. Значит, B_j - C_j = 2i $\bigl($ 1 - cos(2 $\pi$ /n) $\bigr)$ A_j.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	29
Название	Аффинные преобразования
Тема	Аффинная геометрия
параграф
Номер	3
Название	Комплексные числа
Тема	Связь величины угла с длиной дуги и хорды
задача
Номер	29.031