ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 58402
Тема:    [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]
Сложность: 6+
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На сторонах аффинно правильного многоугольника A1A2...An с центром O внешним образом построены квадраты Aj + 1AjBjCj + 1 (j = 1,..., n). Докажите, что отрезки BjCj и OAj перпендикулярны, а их отношение равно 2$ \bigl($1 - cos(2$ \pi$/n)$ \bigr)$.

Решение

Установим соответствие между точками плоскости и комплексными числами так, чтобы точка O совпала с нулем. Тогда Bj - Aj = - i(Aj + 1 - Aj) и Cj - Aj = - i(Aj - Aj - 1) (см. рис.; мы считаем, что A0 = An и An + 1 = A1). Вычитая второе равенство из первого, получаем Bj - Cj = - i(Aj - 1 + Aj + 1 - 2Aj). Но согласно задаче 29.8.1 Aj - 1 + Aj + 1 = 2 cos(2$ \pi$/n)Aj. Значит, Bj - Cj = 2i$ \bigl($1 - cos(2$ \pi$/n)$ \bigr)$Aj.


Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 29
Название Аффинные преобразования
Тема Аффинная геометрия
параграф
Номер 3
Название Комплексные числа
Тема Связь величины угла с длиной дуги и хорды
задача
Номер 29.031

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .