ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 58403
Тема:    [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]
Сложность: 7
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На сторонах выпуклого n-угольника внешним образом построены правильные n-угольники. Докажите, что их центры образуют правильный n-угольник тогда и только тогда, когда исходный n-угольник аффинно правильный.

Решение

Пусть A1...An — исходный n-угольник, причем его вершины занумерованы против часовой стрелки; Bj — центр правильного n-угольника, построенного внешним образом на стороне AjAj + 1. Будем считать, что точки плоскости отождествлены с комплексными числами. Обозначим через w комплексное число cos(2$ \pi$/n) + i sin(2$ \pi$/n). Умножение на w (соответственно на $ \bar{w}$) является поворотом вокруг нуля на угол 2$ \pi$/n против часовой стрелки (соответственно по часовой стрелке). Точка Aj при повороте вокруг Bj - 1 на угол 2$ \pi$/n против часовой стрелки переходит в точку Aj - 1, а при повороте вокруг Bj по часовой стрелке — в точку Aj + 1. Поэтому имеют место равенства

Aj - 1 - Bj - 1 = w(Aj - Bj - 1),    Aj + 1 - Bj = $\displaystyle \bar{w}$(Aj - Bj)

для всех j = 1,..., n (здесь и далее мы будем считать, что A0 = An и An + 1 = A1). Следовательно,

Bj - 1(w - 1) = wAj - Aj - 1,    Bj($\displaystyle \bar{w}$ - 1) = $\displaystyle \bar{w}$Aj - Aj + 1.

Сложим эти равенства. Учитывая, что w - 1 = - w($ \bar{w}$ - 1), получим

(Bj - wBj - 1)($\displaystyle \bar{w}$ - 1) = (w + $\displaystyle \bar{w}$)Aj - Aj - 1 - Aj + 11)

для всех j = 1,..., n.
Многоугольник B1B1...Bn является правильным тогда и только тогда, когда соответствие между точками плоскости и комплексными числами можно установить так, что Bj = wBj - 1 для всех j = 1,..., n, т. е. при всех j левая часть (1) равна нулю.
С другой стороны, согласно задаче 29.8.1 многоугольник A1A2...An аффинно правильный тогда и только тогда, когда соответствие между точками плоскости и комплексными числами можно установить так, что cos(2$ \pi$/n)Aj = Aj - 1 + Aj + 1 для всех j = 1,..., n. Поскольку w + $ \bar{w}$ = cos(2$ \pi$/n), последнее условие эквивалентно тому, что правая часть (1) равна нулю.


Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 29
Название Аффинные преобразования
Тема Аффинная геометрия
параграф
Номер 3
Название Комплексные числа
Тема Связь величины угла с длиной дуги и хорды
задача
Номер 29.032

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .