Информация о задаче

Задача 58403

Тема:

[

Связь величины угла с длиной дуги и хорды

]

Сложность: 7
Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

На сторонах выпуклого n-угольника внешним образом построены правильные n-угольники. Докажите, что их центры образуют правильный n-угольник тогда и только тогда, когда исходный n-угольник аффинно правильный.

Решение

Пусть A₁...A_n — исходный n-угольник, причем его вершины занумерованы против часовой стрелки; B_j — центр правильного n-угольника, построенного внешним образом на стороне A_jA_{j + 1}. Будем считать, что точки плоскости отождествлены с комплексными числами. Обозначим через w комплексное число cos(2 $\pi$ /n) + i sin(2 $\pi$ /n). Умножение на w (соответственно на $\bar{w}$ ) является поворотом вокруг нуля на угол 2 $\pi$ /n против часовой стрелки (соответственно по часовой стрелке). Точка A_j при повороте вокруг B_{j - 1} на угол 2 $\pi$ /n против часовой стрелки переходит в точку A_{j - 1}, а при повороте вокруг B_j по часовой стрелке — в точку A_{j + 1}. Поэтому имеют место равенства

A_{j - 1} - B_{j - 1} = w(A_j - B_{j - 1}), A_{j + 1} - B_j = $\displaystyle \bar{w}$ (A_j - B_j)

для всех j = 1,..., n (здесь и далее мы будем считать, что A₀ = A_n и A_{n + 1} = A₁). Следовательно,

B_{j - 1}(w - 1) = wA_j - A_{j - 1}, B_j( $\displaystyle \bar{w}$ - 1) = $\displaystyle \bar{w}$ A_j - A_{j + 1}.

Сложим эти равенства. Учитывая, что w - 1 = - w( $\bar{w}$ - 1), получим

(B_j - wB_{j - 1})( $\displaystyle \bar{w}$ - 1) = (w + $\displaystyle \bar{w}$ )A_j - A_{j - 1} - A_{j + 1}1)

для всех j = 1,..., n.
Многоугольник B₁B₁...B_n является правильным тогда и только тогда, когда соответствие между точками плоскости и комплексными числами можно установить так, что B_j = wB_{j - 1} для всех j = 1,..., n, т. е. при всех j левая часть (1) равна нулю.
С другой стороны, согласно задаче 29.8.1 многоугольник A₁A₂...A_n аффинно правильный тогда и только тогда, когда соответствие между точками плоскости и комплексными числами можно установить так, что cos(2 $\pi$ /n)A_j = A_{j - 1} + A_{j + 1} для всех j = 1,..., n. Поскольку w + $\bar{w}$ = cos(2 $\pi$ /n), последнее условие эквивалентно тому, что правая часть (1) равна нулю.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	29
Название	Аффинные преобразования
Тема	Аффинная геометрия
параграф
Номер	3
Название	Комплексные числа
Тема	Связь величины угла с длиной дуги и хорды
задача
Номер	29.032