Задача 58416
|
|
 |
Условие
Точки A, B, C, D лежат на одной прямой. Докажите,
что если (ABCD) = 1, то либо A = B, либо C = D.
Решение
Первое решение.
Пусть a, b, c, d — координаты данных точек. Тогда по
условию
(c - a)(d - b) = (c - b)(d - a). Раскрывая
скобки и приводя подобные члены, получаем
cb + ad = ca + bd. Перенося
все в левую часть и разлагая на множители, получаем
(d - c)(b - a) = 0,
т. е. либо a = b, либо c = d.
Второе решение.
Предположим, что CD, и докажем, что в этом случае A = B.
Рассмотрим такое центральное проектирование данной прямой на
другую прямую, при котором точка D проецируется в бесконечно
удаленную точку. Пусть A', B', C' — проекции точек A,
B, C. Согласно задаче 30.2
(ABCD) = (A'B'C'
) = 1, т. е.
=
. Но это значит, что A = B.
Источники и прецеденты использования
| книга | |
| Автор | Прасолов В.В. |
| Год издания | 2001 |
| Название | Задачи по планиметрии |
| Издательство | МЦНМО |
| Издание | 4* |
| глава | |
| Номер | 30 |
| Название | Проективные преобразования |
| Тема | Проективная геометрия |
| параграф | |
| Номер | 1 |
| Название | Проективные преобразования прямой |
| Тема | Проективные преобразования прямой |
| задача | |
| Номер | 30.008 |
