Условие
Точки
A,
B,
C,
D лежат на одной прямой. Докажите,
что если (
ABCD) = 1, то либо
A =
B, либо
C =
D.
Решение
Первое решение.
Пусть
a,
b,
c,
d — координаты данных точек. Тогда по
условию
(
c -
a)(
d -
b) = (
c -
b)(
d -
a). Раскрывая
скобки и приводя подобные члены, получаем
cb +
ad =
ca +
bd. Перенося
все в левую часть и разлагая на множители, получаем
(
d -
c)(
b -
a) = 0,
т. е. либо
a =
b, либо
c =
d.
Второе решение.
Предположим, что
C
D, и докажем, что в этом случае
A =
B.
Рассмотрим такое центральное проектирование данной прямой на
другую прямую, при котором точка
D проецируется в бесконечно
удаленную точку. Пусть
A',
B',
C' — проекции точек
A,
B,
C. Согласно задаче
30.2
(
ABCD) = (
A'B'C'![$ \infty$](show_document.php?id=605609)
) = 1, т. е.
![$ \overrightarrow{AC}$](show_document.php?id=605610)
=
![$ \overrightarrow{BC}$](show_document.php?id=605611)
. Но это значит, что
A =
B.
Источники и прецеденты использования