Задача 58416

Тема:    [ Проективные преобразования прямой ]

Сложность: 5 Классы: 8,9

Условие

Точки A, B, C, D лежат на одной прямой. Докажите, что если (ABCD) = 1, то либо A = B, либо C = D.

Решение

Первое решение. Пусть a, b, c, d — координаты данных точек. Тогда по условию (c - a)(d - b) = (c - b)(d - a). Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получаем cb + ad = ca + bd. Перенося все в левую часть и разлагая на множители, получаем (d - c)(b - a) = 0, т. е. либо a = b, либо c = d.

Второе решение. Предположим, что CD, и докажем, что в этом случае A = B. Рассмотрим такое центральное проектирование данной прямой на другую прямую, при котором точка D проецируется в бесконечно удаленную точку. Пусть A', B', C' — проекции точек A, B, C. Согласно задаче 30.2 (ABCD) = (A'B'C') = 1, т. е. = . Но это значит, что A = B.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	30
Название	Проективные преобразования
Тема	Проективная геометрия
параграф
Номер	1
Название	Проективные преобразования прямой
Тема	Проективные преобразования прямой
задача
Номер	30.008