Условие
На плоскости дана окружность и не пересекающая
ее прямая. Докажите, что существует проективное преобразование,
переводящее данную окружность в окружность,
а данную прямую — в бесконечно удаленную прямую.
Решение
Рассмотрим на координатной плоскости Oxz точки O(0, 0),
N(0, 1), E(1, 0). Для произвольной точки M, лежащей на
дуге NE единичной окружности, обозначим через P пересечение
отрезка EM с прямой z = 1. Ясно, что двигая точку M по дуге
NE, мы можем сделать отношение EM : MP равным произвольному
числу. Поэтому преобразованием подобия данную окружность S можно
перевести в окружность S1, построенную на отрезке EM как на
диаметре в плоскости 
, перпендикулярной Oxz, так, чтобы
данная прямая l перешла в прямую, проходящую через P
перпендикулярно Oxz. Окружность S1 лежит на единичной сфере с центром в начале координат, следовательно, при стереографической
проекции она проецируется в окружность S2 на плоскости Oxy.
Таким образом, при центральном проектировании плоскости на
плоскость Oxy из N окружность S1 перейдет в S2, а прямая l — в бесконечно удаленную.
Источники и прецеденты использования
