Задача 58439

Тема:    [ Переведем данную прямую на бесконечность ]

Сложность: 6 Классы: 10,11

Условие

Даны четырехугольник ABCD и прямая l. Обозначим через P, Q, R точки пересечения прямых AB и CD, AC и BD, BC и AD, а через P₁, Q₁, R₁ — середины отрезков, которые эти пары прямых высекают на прямой l. Докажите, что прямые PP₁, QQ₁ и RR₁ пересекаются в одной точке.

Решение

Сделав проективное преобразование с исключительной прямой, параллельной l и проходящей через точку пересечения прямых PP₁ и QQ₁, а затем аффинное преобразование, которое образы прямых l и PP₁ делает перпендикулярными, мы можем считать, что прямые PP₁ и QQ₁ перпендикулярны прямой l, а наша задача заключается в том, чтобы доказать, что прямая RR₁ тоже перпендикулярна l (точки P₁, Q₁, R₁ останутся серединами соответствующих отрезков, поскольку эти отрезки параллельны исключительной прямой; см. задачу 30.14, б)). Отрезок PP₁ является медианой и высотой, а значит, и биссектрисой в треугольнике, образованном прямыми l, AB и CD. Аналогично, QQ₁ — биссектриса в треугольнике, образованном прямыми l, AC и BD. Из этого и из того, что PP₁| QQ₁, следует, что BAC = BDC. Следовательно, четырехугольник ABCD вписанный, и  ADB = ACB. Обозначим точки, в которых l пересекает прямые AC и BD, через M и N (рис.). Тогда угол между l и AD равен ADB - QNM = ACB - QMN, т. е. он равен углу между l и BC. Следовательно, треугольник, ограниченный прямыми l, AD и BC, равнобедренный, и отрезок RR₁, являющийся его медианой, является также его высотой, т. е. он перпендикулярен прямой l, что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	30
Название	Проективные преобразования
Тема	Проективная геометрия
параграф
Номер	3
Название	Переведем данную прямую на бесконечность
Тема	Переведем данную прямую на бесконечность
задача
Номер	30.032