Задача 58422

Тема:    [ Проективные преобразования плоскости ]

Сложность: 6 Классы: 10,11

Условие

а) Докажите, что проективное преобразование P плоскости, переводящее бесконечно удаленную прямую в бесконечно удаленную прямую, является аффинным.
б) Докажите, что если точки A, B, C, D лежат па прямой, параллельной исключительной прямой проективного преобразования P плоскости , то P(A)P(B) : P(C)P(D) = AB : CD.
в) Докажите, что если проективное преобразование P переводит параллельные прямые l₁ и l₂ в параллельные прямые, то либо P аффинно, либо его исключительная прямая параллельна прямым l₁ и l₂.
г) Пусть P — взаимно однозначное преобразование множества всех конечных и бесконечных точек плоскости, которое каждую прямую переводит в прямую. Докажите, что P проективно.

Решение

а) Из задачи 30.13, в) следует, что если наряду с обычными точками рассматривать бесконечно удаленные, то преобразование P взаимно однозначно. При этом бесконечно удаленная прямая отображается на бесконечно удаленную прямую. Поэтому множество конечных точек тоже взаимно однозначно отображается на множество конечных точек. А поскольку прямые при отображении P переводятся в прямые, то P аффинно.
б) Обозначим через l прямую, на которой лежат точки A, B, C D, а через l₀ — исключительную прямую преобразования P. Возьмем произвольную точку O вне плоскости  и рассмотрим плоскость , которая проходит через прямую l и параллельна плоскости, проходящей через прямую l₀ и точку O. Пусть Q — композиция центрального проектирования плоскости  на плоскость  с центром O и последующего поворота пространства вокруг оси l, переводящего плоскость  в плоскость . Исключительной прямой преобразования Q является прямая l₀. Поэтому проективное преобразование R = PoQ^-1 плоскости  переводит бесконечно удаленную прямую в бесконечно удаленную прямую и согласно задаче а) является аффинным, в частности, сохраняет отношения отрезков, лежащих на прямой l. Остается заметить, что преобразование Q оставляет точки прямой l неподвижными.
в) То, что параллельные прямые l₁ и l₂ переходят в параллельные, означает, что бесконечно удаленная точка A этих прямых переходит в бесконечно удаленную точку, т. е. A лежит на прообразе l бесконечно удаленной прямой. Следовательно, либо l — бесконечно удаленная прямая, и тогда согласно задаче а) преобразование P аффинно, либо прямая l параллельна прямым l₁ и l₂.
г) Обозначим через  l бесконечно удаленную прямую. Если P(l) = l, то P задает взаимно однозначное преобразование плоскости, которое каждую прямую переводит в прямую, и, значит, по определению является аффинным. В противном случае обозначим P(l) через a и рассмотрим произвольное проективное преобразование Q, исключительной прямой которого является a. Обозначим QoP через R. Тогда R(l) = l, и, значит, как было показано выше, R аффинно. Следовательно, P = Q^-1oR проективно.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	30
Название	Проективные преобразования
Тема	Проективная геометрия
параграф
Номер	2
Название	Проективные преобразования плоскости
Тема	Проективные преобразования плоскости
задача
Номер	30.014