Условие
Даны треугольник
ABC и прямая
l. Обозначим
через
A1,
B1,
C1 середины отрезков, высекаемых на прямой
l
углами
A,
B,
C, а через
A2,
B2,
C2 —
точки пересечения прямых
AA1 и
BC,
BB1 и
AC,
CC1
и
AB. Докажите, что точки
A2,
B2,
C2 лежат на одной прямой.
Решение
Сделав проективное преобразование с исключительной
прямой, параллельной
l и проходящей через точку
A, мы можем
считать, что точка
A бесконечно удаленная, т. е. прямые
AB и
AC
параллельны. При этом согласно задаче
30.14, б) точки
A1,
B1,
C1
по-прежнему будут серединами соответствующих отрезков, так как
эти отрезки лежат на прямой, параллельной исключительной. Два
треугольника, образованные прямыми
l,
AB,
BC и
l,
AC,
BC,
гомотетичны, следовательно, прямые
BB1 и
CC1, являющиеся
медианами этих треугольников, параллельны. Таким образом,
четырехугольник
BB2CC2 является параллелограммом, поскольку у него
параллельны противоположные стороны. Остается заметить, что
точка
A2 лежит на середине диагонали
BC этого параллелограмма,
а значит, и на диагонали
B2C2.
Источники и прецеденты использования
