Условие
Даны треугольник ABC и прямая l. Обозначим
через A1, B1, C1 середины отрезков, высекаемых на прямой l
углами A, B, C, а через A2, B2, C2 —
точки пересечения прямых AA1 и BC, BB1 и AC, CC1
и AB. Докажите, что точки A2, B2, C2 лежат на одной прямой.
Решение
Сделав проективное преобразование с исключительной
прямой, параллельной l и проходящей через точку A, мы можем
считать, что точка A бесконечно удаленная, т. е. прямые AB и AC
параллельны. При этом согласно задаче 30.14, б) точки A1, B1, C1
по-прежнему будут серединами соответствующих отрезков, так как
эти отрезки лежат на прямой, параллельной исключительной. Два
треугольника, образованные прямыми l, AB, BC и l, AC, BC,
гомотетичны, следовательно, прямые BB1 и CC1, являющиеся
медианами этих треугольников, параллельны. Таким образом,
четырехугольник BB2CC2 является параллелограммом, поскольку у него
параллельны противоположные стороны. Остается заметить, что
точка A2 лежит на середине диагонали BC этого параллелограмма,
а значит, и на диагонали B2C2.
Источники и прецеденты использования
