Условие
Даны окружность S, точка P, расположенная вне S,
и прямая l, проходящая через P и пересекающая окружность
в точках A и B. Точку пересечения касательных к окружности
в точках A и B обозначим через K.
а) Рассмотрим всевозможные прямые, проходящие через P
и пересекающие AK и BK в точках M и N. Докажите,
что геометрическим местом точек пересечения отличных от
AK и BK касательных к S, проведенных из точек M и N,
является некоторая прямая, проходящая через K, из которой
выкинуто ее пересечение с внутренностью S.
б) Будем на окружности разными способами выбирать
точку R и проводить прямую, соединяющую отличные от R
точки пересечения прямых RK и RP с S. Докажите, что
все полученные прямые проходят через одну точку, и эта
точка лежит на l.
Решение
Обе задачи становятся очевидными после проективного
преобразования, переводящего окружность S в окружность, а прямую
KP — в бесконечно удаленную (см. задачу 30.17).
а) Требуемое ГМТ лежит на прямой, равноудаленной от образов
прямых AK и BK.
б) Требуемая точка есть центр образа S.
Источники и прецеденты использования
