Условие
Вневписанная окружность треугольника ABC касается стороны BC
в точке D, а продолжений сторон AB и AC —
в точках E и F. Пусть T — точка пересечения прямых BF
и CE. Докажите, что точки A, D и T лежат на одной прямой.
Решение
Пусть A', B',... — образы точек A, B,...
при проективном преобразовании, которое вневписанную окружность
треугольника ABC переводит в окружность, а хорду EF —
в диаметр (см. задачу 30.18). Тогда A' -- бесконечно удаленная
точка прямых, перпендикулярных диаметру E'F', и нам нужно доказать,
что прямая D'T' содержит эту точку, т. е. тоже перпендикулярна E'F'.
Так как
T'B'E' 
T'F'C', то
C'T' : T'E' = C'F' : B'E'. Но C'D' = C'F' и B'D' = B'E' как касательные,
проведенные из одной точки, следовательно,
C'T' : T'E' = C'D' : D'B', т. е.
D'T'| B'E'.
Источники и прецеденты использования
