Условие
Вневписанная окружность треугольника
ABC касается стороны
BC
в точке
D, а продолжений сторон
AB и
AC —
в точках
E и
F. Пусть
T — точка пересечения прямых
BF
и
CE. Докажите, что точки
A,
D и
T лежат на одной прямой.
Решение
Пусть
A',
B',... — образы точек
A,
B,...
при проективном преобразовании, которое вневписанную окружность
треугольника
ABC переводит в окружность, а хорду
EF —
в диаметр (см. задачу
30.18). Тогда
A' -- бесконечно удаленная
точка прямых, перпендикулярных диаметру
E'F', и нам нужно доказать,
что прямая
D'T' содержит эту точку, т. е. тоже перпендикулярна
E'F'.
Так как
T'B'E' 
T'F'C', то
C'T' :
T'E' =
C'F' :
B'E'. Но
C'D' =
C'F' и
B'D' =
B'E' как касательные,
проведенные из одной точки, следовательно,
C'T' :
T'E' =
C'D' :
D'B', т. е.
D'T'|
B'E'.
Источники и прецеденты использования
