Условие
Точки
A,
B,
C и
D лежат на окружности,
SA и
SD —
касательные к этой окружности,
P и
Q — точки
пересечения прямых
AB и
CD,
AC и
BD соответственно.
Докажите, что точки
P,
Q и
S лежат на одной прямой.
Решение
Рассмотрим проективное преобразование, переводящее
данную окружность в окружность, а отрезок
AD — в ее диаметр
(см. задачу
30.18). Пусть
A',
B',... -- образы точек
A,
B,... Тогда
S переходит в бесконечно удаленную точку
S'
прямых, перпендикулярных прямой
A'D'. Но
A'C' и
B'D' —
высоты в
A'D'P', следовательно,
Q' — ортоцентр
этого треугольника. Поэтому прямая
P'Q' — тоже высота,
следовательно, она проходит через точку
S'.
Источники и прецеденты использования
