Задача 58453
|
|
 |
Условие
Точки A, B, C и D лежат на окружности, SA и SD —
касательные к этой окружности, P и Q — точки
пересечения прямых AB и CD, AC и BD соответственно.
Докажите, что точки P, Q и S лежат на одной прямой.
Решение
Рассмотрим проективное преобразование, переводящее
данную окружность в окружность, а отрезок AD — в ее диаметр
(см. задачу 30.18). Пусть A', B',... -- образы точек A,
B,... Тогда S переходит в бесконечно удаленную точку S'
прямых, перпендикулярных прямой A'D'. Но A'C' и B'D' —
высоты в
A'D'P', следовательно, Q' — ортоцентр
этого треугольника. Поэтому прямая P'Q' — тоже высота,
следовательно, она проходит через точку S'.
Источники и прецеденты использования
| книга | |
| Автор | Прасолов В.В. |
| Год издания | 2001 |
| Название | Задачи по планиметрии |
| Издательство | МЦНМО |
| Издание | 4* |
| глава | |
| Номер | 30 |
| Название | Проективные преобразования |
| Тема | Проективная геометрия |
| параграф | |
| Номер | 4 |
| Название | Применение проективных преобразований, сохраняющих окружность |
| Тема | Применение проективных преобразований, сохраняющих окружность |
| задача | |
| Номер | 30.045 |
