Условие
Используя проективные преобразования прямой,
докажите теорему Паппа (задача
30.27).
Решение
Обозначим точки пересечения прямых
AB1 и
BA1,
BC1
и
CB1,
CA1 и
AC1 через
P,
Q,
R соответственно,
а точку пересечения прямых
PQ и
CA1 — через
R1. Нам
надо доказать, что точки
R и
R1 совпадают. Пусть
D —
точка пересечения
AB1 и
CA1. Рассмотрим композицию проектирований:
прямой
CA1 на прямую
l1 из точки
A,
l1 на
CB1 из
B
и
CB1 на
CA1 из
P. Легко видеть, что получившееся
проективное преобразование прямой
CA1 точки
C,
D и
A1
оставляет неподвижными, а точку
R переводит в
R1.
Но согласно задаче
30.5 проективное преобразование с тремя
неподвижными точками тождественно. Следовательно
R1 =
R.
Источники и прецеденты использования
