Версия для печати
Убрать все задачи

---

Золотоискатель Джек добыл 9 кг золотого песка. Сможет ли он за три взвешивания отмерить 2 кг песка с помощью чашечных весов: а) с двумя гирями  — 200 г и 50 г; б) с одной гирей 200 г?

   Решение

---

Дядя Фёдор, кот Матроскин, Шарик и почтальон Печкин сидят на скамейке. Если Шарик, сидящий справа от всех, сядет между дядей Фёдором и котом, то кот станет крайним слева. В каком порядке они сидят?

   Решение

Тема:    [ Кривые второго порядка ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

а) Пусть точки A, B, C, D, E и F лежат на одной конике. Докажите, что тогда прямые Паскаля шестиугольников ABCDEF, ADEBCF и ADCFEB пересекаются в одной точке (Штейнер).
б) Пусть точки A, B, C, D, E и F лежат на одной окружности. Докажите, что тогда прямые Паскаля шестиугольников ABFDCE, AEFBDC и ABDFEC пересекаются в одной точке (Киркман).

Решение

а) Продолжим рассуждения из решение задачи 31.052 дальше. Приравнивая (2) и (3), получим, что точки пересечения прямых AF и BE, ED и CF, AD и BC лежат на прямой l_AD = l_BC. А приравняв (1) и (3), получим, что точки пересечения прямых AB и CF, CD и BE, AD и EF лежат на прямой l_AD = l_EF. Легко проверить, что полученные прямые

пересекаются в одной точке. В самом деле, если X — точка пересечения первых двух из этих прямых, то

Сократив на l_BC(X), получим l_AD = l_EF (мы не будем останавливаться на обсуждении вырожденного случая, когда l_BC(X) = 0).
б) При доказательстве теоремы Штейнера исходными четырехугольниками были ABCD, AFED и BEFC. Можно исходить также из четырехугольников ABFE, ABDC и CDFE. Тогда получим теорему Киркмана.

Источники и прецеденты использования