Версия для печати
Убрать все задачи

---

Четырехугольник $ABCD$ – вписанный. Окружность, проходящая через точки $A$ и $B$, пересекает диагонали $AC$ и $BD$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Пусть прямые $AF$ и $BC$ пересекаются в точке $P$, а прямые $BE$ и $AD$ – в точке $Q$. Докажите, что $PQ$ параллельна $CD$.

   Решение

Тема:    [ Кривые второго порядка ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что две несовпадающие коники имеют не более четырех общих точек.

Решение

Пусть ax² + 2bxy + cy² + 2dx + 2ey = f — уравнение одной коники, а , — рациональная параметризация второй коники. Тогда точки их пересечения соответствуют корням уравнения

Согласно задаче 31.073 степень этого уравнения не превосходит 4. (Вообще говоря, мы могли бы получить уравнение вида g = 0, где g — некоторое число. Но это соответствует либо случаю двух совпадающих коник, либо случаю непересекающихся коник.) Остается заметить, что уравнение, степень которого не превосходит 4, имеет не более 4 корней.
Замечание. Если речь идет не о кониках, а о произвольных кривых второго порядка, то несовпадающие вырожденные кривые второго порядка могут иметь общую прямую.

Источники и прецеденты использования