Задача 60504
|
|
 |
Условие
При каких целых $n$ число
а) $\frac{n^4+3}{n^2+n+1}$; б) $\frac{n^3+n+1}{n^2-n+1}$ также будет целым?
Решение
а) Предположим, что данное число целое. Так как $\frac{n^4+3}{n^2+n+1} = n^2-n+\frac{n+3}{n^2+n+1}$ то $n = -3$, либо $0 < n^2 + n + 1 < |n + 3|.$ Левое неравенство всегда верно. Рассмотрим два случая.
1) $n + 3 > 0.$ Тогда $n \le 2.$ Из значений $n = -1, 0, 1$ условию удовлетворяют только первые два.
2) $n + 3 < 0.$ Тогда $n^2 + 2n + 4 < 0,$ что невозможно.
б) Если данное число целое, то и число $n = n^3 + n + 1 - (n + 1)(n^2 - n + 1)$ делится на $n$. Но $\operatorname{HOK}(n, n^2 - n + 1) = 1,$ значит, $n^2-n + 1 = 1,$ то есть $n$ равно $0$ или $1$.
Ответ
а) $n = -3, -1, 0$; б) $n = 0, 1.$
Источники и прецеденты использования
| книга | |
| Автор | Алфутова Н.Б., Устинов А.В. |
| Год издания | 2002 |
| Название | Алгебра и теория чисел |
| Издательство | МЦНМО |
| Издание | 1 |
| глава | |
| Номер | 3 |
| Название | Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики |
| Тема | Алгебра и арифметика |
| параграф | |
| Номер | 2 |
| Название | Алгоритм Евклида |
| Тема | Алгоритм Евклида |
| задача | |
| Номер | 03.052 |
