Задача 60607
|
|
 |
Условие
Докажите, что для любой бесконечной цепной дроби [a0; a1, ..., an, ...] существует предел её подходящих дробей – иррациональное число α. Объясните, почему если это число α разложить в бесконечную цепную дробь при помощи алгоритма задачи 60606, то получится бесконечная цепная дробь, равная исходной.
Подсказка
Подходящие дроби Pk/Qk к указанной бесконечной цепной дроби одновременно являются подходящими дробями к конечным цепным дробям вида
[a0; a1, ..., an] при n > k. Поэтому для них выполнены соотношения задачи 60602. Существование предела α следует из пп. б) и г) этой задачи. Осталось проверить, что ak = [αk] при разложении по алгоритму из задачи 60606.
Источники и прецеденты использования
| книга | |
| Автор | Алфутова Н.Б., Устинов А.В. |
| Год издания | 2002 |
| Название | Алгебра и теория чисел |
| Издательство | МЦНМО |
| Издание | 1 |
| глава | |
| Номер | 3 |
| Название | Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики |
| Тема | Алгебра и арифметика |
| параграф | |
| Номер | 5 |
| Название | Цепные дроби |
| Тема | Цепные (непрерывные) дроби |
| задача | |
| Номер | 03.155 |
