Путешественник, сняв в гостинице комнату на неделю, предложил хозяину в уплату цепочку из семи серебряных колец  — по кольцу за день, с тем, однако, условием, что будет рассчитываться ежедневно. Хозяин согласился, оговорив со своей стороны, что можно распилить только одно кольцо. Как путешественнику удалось расплатиться с хозяином гостиницы?

   Решение

Прямоугольный треугольник ABC  (∠A = 90°)  и два квадрата BEFC и AMNC расположены так, что точки E и A лежат по разные стороны от прямой BC, а точки M и B – по разные стороны от прямой AC. Найдите расстояние между центрами квадратов, если  AB = a,  AC = b.

   Решение

Темы:    [ Исследование квадратного трехчлена ] [ Методы решения задач с параметром ] [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Известно, что уравнение  x² + 5bx + c = 0  имеет корни x₁ и x₂,  x₁ ≠ x₂,  а некоторое число является корнем уравнения  y² + 2x₁y + 2x₂ = 0  и корнем уравнения  z² + 2x₂z + 2x₁ = 0.  Найти b.

Решение

Общий корень уравнений  y² + 2x₁y + 2x₂ = 0  и  y² + 2x₂y + 2x₁ = 0  является также корнем их разности – уравнения  2(x₁ – x₂)y + 2(x₂ – x₁) = 0.  Поскольку  x₁ – x₂ ≠ 0,  то  y – 1 = 0,  то есть  y = 1.  Подставляя в первое уравнение, получаем  1 + 2(x₁ + x₂) = 0.  Отсюда  5b = – (x₁ + x₂) = ½.

Ответ

b = ¹/₁₀.

Источники и прецеденты использования