Задача 60946

Темы:    [ Фазовая плоскость коэффициентов ] [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ] [ Исследование квадратного трехчлена ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Условие

Обозначим корни уравнения  x² + px + q = 0  через x₁, x₂. Нарисуйте на фазовой плоскости Opq множества точек  M(, q),  которые задаются условиями:
а)  x₁ = 0,  x₂ = 1;     б)  x₁ ≤ 0,  x₂ ≥ 2;     в)  x₁ = x₂;     г)  – 1 ≤ x₁ ≤ 0,  1 ≤ x₂ ≤ 2.

Подсказка

Пусть  f(x) = x² + px + q.

б) Условие эквивалентно тому, что  f(0) ≤ 0,  f(2) ≤ 0, то есть  q ≤ 0,  2p + q + 4 ≤ 0.

г) Условие эквивалентно тому, что  f(– 1) ≥ 0,  f(0) ≤ 0,  f(1) ≤ 0,  f(2) ≥ 0,  то есть  q – p + 1 ≥ 0,  q ≤ 0,  p + q + 1 ≤ 0,  2p + q + 4 ≥ 0.

Ответ

а) Точка  (– 1, 0).

в) Парабола  4q = p².

г) Четырёхугольник с вершинами  (– 2, 0),  (– 1, 0),  (0, – 1),  (– 1, – 2).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	6
Название	Многочлены
Тема	Многочлены
параграф
Номер	1
Название	Квадратный трехчлен
Тема	Неизвестная тема
задача
Номер	06.023