Условие
Фазовая плоскость Opq разбивается параболой p² – 4q = 0 и прямыми p + q + 1 = 0, – 2p + q + 4 = 0 на несколько областей. Для точек каждой области укажите, сколько корней имеет соответствующий им многочлен x² + px + q = 0 на интервале (– 2, 1).
Решение
Заметим, что указанные прямые касаются дискриминатной параболы (в точках (– 2, 1) и (4, 4) соответственно). Таким образом, плоскость разбивается на семь областей: А – внутренность параболы, далее B, C, D, E, F – по часовой стрелке; G – центральная область.
Пусть f(x) = x2 + px + q; заметим, что f(1) = p + q + 1, f(–2) = – 2p + q + 4.
В области A дискриминант трёхчлена f(x) отрицателен, поэтому трёхчлен корней не имеет.
В остальных областях трёхчлен имеет два корня.
В области B f(–2) > 0. Кроме того, в ней p > 4, поэтому абсцисса вершина параболы y = f(x) находится левее точки – 2. Значит, на указанном интервале трёхчлен f(x) корней не имеет.
В области C f(– 2) < 0, f(1) > 0. Поэтому на интервале (– 2, 1) трёхчлен f(x) имеет один корень.
В области D f(–2) < 0, f(1) < 0. Поэтому на интервале (– 2, 1) трёхчлен f(x) имеет два корня.
В области E f(–2) > 0, f(1) < 0. Поэтому на интервале (– 2, 1) трёхчлен f(x) имеет один корень.
В области F f(1) > 0. Кроме того, в ней p < – 2, поэтому абсцисса вершина параболы y = f(x) находится правее точки 1. Значит, на интервале (– 2, 1) трёхчлен f(x) корней не имеет.
Наконец, в области G f(–2) > 0, f(1) > 0. Кроме того, в ней – 2 < p < 4, поэтому абсцисса вершина параболы находится внутри интервала (– 2, 1). Следовательно оба корня трёхчлена f(x) находятся внутри этого интервала.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
книга |
|
Автор |
Алфутова Н.Б., Устинов А.В. |
|
Год издания |
2002 |
|
Название |
Алгебра и теория чисел |
|
Издательство |
МЦНМО |
|
Издание |
1 |
|
глава |
|
Номер |
6 |
|
Название |
Многочлены |
|
Тема |
Многочлены |
|
параграф |
|
Номер |
1 |
|
Название |
Квадратный трехчлен |
|
Тема |
Неизвестная тема |
|
задача |
|
Номер |
06.026 |
