Задача 60975

Тема:    [ Свойства коэффициентов многочлена ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Пусть  P(x) = (2x² – 2x + 1)¹⁷(3x² – 3x + 1)¹⁷.  Найдите
  a) сумму коэффициентов этого многочлена;
  б) суммы коэффициентов при чётных и нечётных степенях x.

Решение

Сумма коэффициентов равна  P(1) = 1.  Сумма коэффициентов при чётных степенях равна  ½ (P(1) + P(–1)) = ½ (1 + 5¹⁷7¹⁷).  Соответственно сумма коэффициентов при нечётных степенях равна  ½ (P(1) – P(–1)) = ½ (1 – 5¹⁷7¹⁷).

Ответ

а) 1;   б)  ½ (1 + 35¹⁷),  ½ (1 – 35¹⁷).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	6
Название	Многочлены
Тема	Многочлены
параграф
Номер	2
Название	Алгоритм Евклида для многочленов и теорема Безу.
Тема	Теорема Безу. Разложение на множители
задача
Номер	06.052