Задача 60976

Темы:    [ Теорема Безу. Разложение на множители ] [ Методы решения задач с параметром ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

При каких a и b многочлен  P(x) = (a + b)x⁵ + abx² + 1  делится на  x² – 3x + 2?

Решение

x² – 3x + 2 = (x – 1)(x – 2).  Поэтому должны выполняться равенства  P(1) = P(2) = 0,  то есть  (a + b) + ab + 1 = (a + 1)(b + 1) = 0,  32(a + b) + 4ab + 1 = 0.  Из первого равенства видим, что одно из чисел a, b равно –1. Подставляя во второе равенство, находим, что второе число равно ³¹/₂₈.

Ответ

{a, b} = {–1, ³¹/₂₈}.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	6
Название	Многочлены
Тема	Многочлены
параграф
Номер	2
Название	Алгоритм Евклида для многочленов и теорема Безу.
Тема	Теорема Безу. Разложение на множители
задача
Номер	06.053