Можно ли раскрасить грани куба в три цвета так, чтобы каждый цвет присутствовал, но нельзя было увидеть одновременно грани всех трёх цветов, откуда бы мы ни взглянули на куб? (Одновременно можно увидеть только три любые грани, имеющие общую вершину.)

   Решение

Темы:    [ Целочисленные и целозначные многочлены ] [ Рациональные и иррациональные числа ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10 Название задачи: Теорема о рациональных корнях многочлена.

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что если  (p, q) = 1  и  ^p/_q  – рациональный корень многочлена  P(x) = a_nxⁿ + ... + a₁x + a₀  с целыми коэффициентами, то
  а)  a₀ делится на p;
  б)  a_n делится на q.

Решение

Условие  f(^p/_q) = 0  можно записать в виде  a₀qⁿ + a₁pq^n–1 + ... + a_npⁿ = 0.  Все слагаемые в левой части, кроме первого, кратны p, значит, и a₀qⁿ делится на p. Но p и q взаимно просты, следовательно, a₀ делится на p. Аналогично доказывается, что a_n кратно q.

Замечания

Эти соотношения позволяют перечислить все рациональные числа, которые могут быть корнями данного многочлена.

Источники и прецеденты использования