Задача 61017

Темы:    [ Уравнения высших степеней (прочее) ] [ Тождественные преобразования ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Условие

Решите уравнения:
   a)  x⁴ + x³ – 3a²x² – 2a²x + 2a⁴ = 0;
   б)  x³ – 3x = a³ + a^–3.

Решение

   а)  x⁴ + x³ – 3a²x² – 2a²x + 2a⁴ = x²(x² + x – a²) – 2a²(x² + x – a²) = (x² – 2a²)(x² + x – a²).

   б) Обозначим  b = a + a^–1  и заметим, что  b³ = (a³ + a^–3) + 3(a + a^–1),  то есть  b³ – 3b = a³ + a^–3.  Итак, b – один из корней нашего уравнения, а  x³ – 3x – (b³ – 3b) = (x – b)(x² + bx + b² – 3).  Дискриминант уравнения  x² + bx + b² – 3 = 0  равен
b² – 4(b² – 3) = 12 – 3b² ≤ 0,  так как  |b| ≥ 2.  Поэтому это уравнение имеет вещественный корень (равный – ^b/₂) только при  a = ±1.

Ответ

а)  

б) При  a ≠ 0, ±1   x = a + a^–1;   при  a = 1   x₁ = 2,  x₂ = –1;   при  a = –1   x₁ = –2,  x₂ = 1.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	6
Название	Многочлены
Тема	Многочлены
параграф
Номер	3
Название	Разложение на множители
Тема	Формулы сокращенного умножения
задача
Номер	06.094