Задача 61018

Темы:    [ Теорема Безу. Разложение на множители ] [ Производная и кратные корни ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Условие

Докажите, что корень a многочлена P(x) имеет кратность больше 1 тогда и только тогда, когда  P(a) = 0  и  P'(a) = 0.

Решение

Поскольку a – корень, то  P(x) = (x – a)²Q(x) + p(x – a).  Корень имеет кратность больше единицы тогда и только тогда, когда  p = 0.  Осталось проверить, что  P'(a) = p.  Это видно из формулы  P'(x) = (x – a)2Q'(x) + 2(x – a)Q(x) + p.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	6
Название	Многочлены
Тема	Многочлены
параграф
Номер	4
Название	Многочлены с кратными корнями
Тема	Многочлены (прочее)
задача
Номер	06.095