Задача 61032

Темы:    [ Симметрические многочлены ] [ Теорема Виета ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

Числа  x, y, z  удовлетворяют системе
     
Докажите, что хотя бы одно из этих чисел равно a.

Решение

Пусть  xy + xz + yz = b.  По условию     то есть  xyz = ab.  Значит, x, y, z – корни многочлена  t³ – at² + bt – ab.  Но один из его корней, очевидно, равен a.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	6
Название	Многочлены
Тема	Многочлены
параграф
Номер	5
Название	Теорема Виета
Тема	Неизвестная тема
задача
Номер	06.109