Задача 61038

Темы:    [ Теорема Виета ] [ Симметрические многочлены ] [ Кубические многочлены ] [ Алгебраические задачи на неравенство треугольника ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Условие

Пусть известно, что все корни некоторого уравнения  x³ + px² + qx + r = 0  положительны. Какому дополнительному условию должны удовлетворять его коэффициенты p, q и r для того, чтобы из отрезков, длины которых равны этим корням, можно было составить треугольник?

Решение

Пусть u, v, w – корни нашего уравнения. Условие эквивалентно неравенству  (v + w – u)(u + w – v)(u + v – w) > 0.  Но
(v + w – u)(u + w – v)(u + v – w) = (– p – 2u)(– p – 2v)(– p – 2w) = – p³ – 2(u + v + w)p² – 4(uv + uw + vw)p – 8uvw =
  = – p³ + 2p³ – 4pq + 8r = p³ – 4pq + 8r.

Ответ

p³ – 4pq + 8r > 0.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	6
Название	Многочлены
Тема	Многочлены
параграф
Номер	5
Название	Теорема Виета
Тема	Неизвестная тема
задача
Номер	06.115