Задача 61042

Темы:    [ Симметрические многочлены ] [ Теорема Виета ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Условие

Известно, что целые числа a, b, c удовлетворяют равенству  a + b + c = 0.  Докажите, что  2a⁴ + 2b⁴ + 2c⁴  – квадрат целого числа.

Решение

a, b, c – корни кубического уравнения  x³ + px + q = 0,  которые удовлетворяют и равенству  x⁴ = – px² – qx.  Поэтому
2a⁴ + 2b⁴ + 2c⁴ = – 2p(a² + b² + c²) – 6q(a + b + c) = 4p(ab + ac + bc) = 4p².

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	6
Название	Многочлены
Тема	Многочлены
параграф
Номер	5
Название	Теорема Виета
Тема	Неизвестная тема
задача
Номер	06.119