Задача 61043

Темы:    [ Теорема Виета ] [ Кубические многочлены ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Условие

Найдите зависимость между коэффициентами кубического уравнения  ax³ + bx² + cx + d = 0,  если известно, что сумма двух его корней равна произведению этих корней.

Решение

Пусть u, v, w – корни нашего уравнения и  u + v = uv.  Тогда  c + d = a(uv + uw + vw – uvw) = auv,  b + c + d = – a(u + v + w) + auv = – aw,  поэтому  (c + d)(b + c + d) = – a²uvw = ad.

Ответ

(c + d)(b + c + d) = ad.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	6
Название	Многочлены
Тема	Многочлены
параграф
Номер	5
Название	Теорема Виета
Тема	Неизвестная тема
задача
Номер	06.120