ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 61045
Темы:    [ Теорема Виета ]
[ Формулы для площади треугольника ]
[ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Пусть a, b, c – стороны треугольника, p – его полупериметр, а r и R – радиусы вписанной и описанной окружностей соответственно. Составьте уравнение с коэффициентами, зависящими от p, r, R, корнями которого являются числа a, b, c. Докажите равенство


Решение

a + b + c = 2p,  abc = 4RS = 4Rrp  (см. задачу 108568). Отсюда   .   По формуле Герона
r2p2 = p(p – a)(p – b)(p – c),  то есть  r2p = p3 – (a + b + c)p2 + (ab + bc + ac)p – abc = p3 – 2p3 + (ab + bc + ac)p – 4Rrp.  Значит,
ab + bc + ac = r2 + p2 + 4Rr.  Теперь уравнение записывается по обратной теореме Виета.


Ответ

x3 – 2px2 + (r2 + p2 + 4Rr)x – 4Rrp = 0.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 6
Название Многочлены
Тема Многочлены
параграф
Номер 5
Название Теорема Виета
Тема Неизвестная тема
задача
Номер 06.122

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .