ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 61139
Темы:    [ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ]
[ Комплексные числа помогают решить задачу ]
[ Производная и кратные корни ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

При каких n многочлен  (x + 1)n + xn + 1  делится на:
  а)  x² + x + 1;    б)  (x² + x + 1)²;    в)   (x² + x + 1)³?


Решение

  Пусть  Q(x) = (x + 1)n + xn + 1,  P(x) = x² + x + 1,  тогда  x + 1 ≡ – x²,  x³ ≡ 1 (mod P)  (сравнение многочленов аналогично сравнению чисел).

  а)  Q(x) ≡ (–1)nx2n + xn + 1 (mod P).  Разберём все возможные случаи.
  1)  n кратно 3. Тогда  (–1)nx2n + xn + 1 ≡ (–1)n + 2 (mod P),  а этот многочлен на P не делится.
  2)  n ≡ 1 (mod 6).  Тогда  (–1)nx2n + xn + 1 ≡ – x² + x + 1 ≡ 2x + 2 (mod P).
  3)  n ≡ 2 (mod 6).  Тогда  (–1)nx2n + xn + 1 ≡ x + x² + 1 ≡ 0 (mod P).
  4)  n ≡ 4 (mod 6).  Тогда  (–1)nx2n + xn + 1 ≡ x² + x + 1 ≡ 0 (mod P).
  5)  n ≡ 5 (mod 6).  Тогда  (–1)nx2n + xn + 1 ≡ – x + x² + 1 ≡ 2x + 2 (mod P).
  Таким образом, Q делится на P при  n ≡ 2, 4 (mod 6).  В частности, n чётно.

  б) Поскольку комплексные корни многочлена P различны, достаточно проверить, делится ли Q' на P.
Q'(x) = n(x + 1)n–1 + nxn–1n(xn–1 – (–1)nx2n–2) ≡ n(xn–1x2n–2) (mod P).
  При  n ≡ 1 (mod 3)   xn–1x2n–2 ≡ 1 – 1 ≡ 0 (mod P).
  При  n ≡ 2 (mod 3)   xn–1x2n–2x – x² ≡ 2x + 1 (mod P).
  Таким образом, Q делится на P² при  n ≡ 4 (mod 6).

  в)  Q" = n(n – 1)((x + 1)n–2 + xn–2) ≡ n(n – 1)(x2n–4 + xn–2) ≡ n(n – 1)(x + x²) ≡ – n(n – 1) (mod P).  Поскольку  n > 1,  то Q никогда не делится на P³.


Ответ

а)  n = 6k ± 2;    б)  n = 6k – 2;    в) ни при каких.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 7
Название Комплексные числа
Тема Неизвестная тема
параграф
Номер 1
Название Комплексная плоскость
Тема Неизвестная тема
задача
Номер 07.075

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .