|
|
 |
Условие
При каких n многочлен (x + 1)n – xn – 1 делится на:
а) x² + x + 1; б) (x² + x + 1)²; в) (x² + x + 1)³?
Решение
Пусть Q(x) = (x + 1)n – xn – 1, P(x) = x² + x + 1, тогда x + 1 ≡ – x², x³ ≡ 1 (mod P) (сравнение многочленов аналогично сравнению чисел).
а) Q(x) ≡ (–1)nx2n – xn + 1 (mod P). Разберем все возможные случаи.
1) n кратно 3. Тогда (–1)nx2n – xn – 1 ≡ (–1)n – 2 (mod P).
2) n ≡ 1 (mod 6). Тогда (–1)nx2n – xn – 1 ≡ – x² – x – 1 ≡ 0 (mod P).
3) n ≡ 2 (mod 6). Тогда (–1)nx2n – xn – 1 ≡ x – x² – 1 ≡ 2x (mod P).
4) n ≡ 4 (mod 6). Тогда (–1)nx2n – xn – 1 ≡ x² – x – 1 ≡ – 2x – 2 (mod P).
5) n ≡ 5 (mod 6). Тогда (–1)nx2n – xn – 1 ≡ – x – x² – 1 ≡ 0 (mod P).
Таким образом, Q делится на P при n ≡ 1, 5 (mod 6). В частности, n нечётно.
б) Как и в задаче 61139, достаточно проверить, делится ли Q' на P. Q'(x) = n(x + 1)n–1 – nxn–1 ≡ n(x2n–2 – xn–1) (mod P).
При n ≡ 1 (mod 3) x2n–2 – xn–1 ≡ 1 – 1 = 0 (mod P).
При n ≡ 2 (mod 3) x2n–2 – xn–1 ≡ x² – x ≡ – 2x – 1 (mod P).
Таким образом, Q делится на P² при n ≡ 1 (mod 6).
в) Q" = n(n – 1)((x + 1)n–2 – xn–2} ≡ – n(n – 1)(x2n–4 + xn–2) ≡ – n(n – 1)(x + x²) ≡ n(n – 1) (mod P).
Таким образом, Q делится на P³ только при n = 1. И действительно, при этом многочлен Q обращается в ноль.
Ответ
При а) n = 6k ± 1; б) n = 6k + 1; в) n = 1.
Источники и прецеденты использования
| книга | |
| Автор | Алфутова Н.Б., Устинов А.В. |
| Год издания | 2002 |
| Название | Алгебра и теория чисел |
| Издательство | МЦНМО |
| Издание | 1 |
| глава | |
| Номер | 7 |
| Название | Комплексные числа |
| Тема | Неизвестная тема |
| параграф | |
| Номер | 1 |
| Название | Комплексная плоскость |
| Тема | Неизвестная тема |
| задача | |
| Номер | 07.076 |
