ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 61140
Темы:    [ Комплексные числа помогают решить задачу ]
[ Производная и кратные корни ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

При каких n многочлен  (x + 1)nxn – 1  делится на:
  а)  x² + x + 1;   б)  (x² + x + 1)²;   в) (x² + x + 1)³?


Решение

  Пусть  Q(x) = (x + 1)nxn – 1,  P(x) = x² + x + 1,  тогда  x + 1 ≡ – x²,  x³ ≡ 1 (mod P)  (сравнение многочленов аналогично сравнению чисел).

  а)  Q(x) ≡ (–1)nx2nxn + 1 (mod P).  Разберем все возможные случаи.
  1)  n кратно 3. Тогда  (–1)nx2nxn – 1 ≡ (–1)n – 2 (mod P).
  2)  n ≡ 1 (mod 6).  Тогда  (–1)nx2nxn – 1 ≡ – x² – x – 1 ≡ 0 (mod P).
  3)  n ≡ 2 (mod 6).  Тогда  (–1)nx2nxn – 1 ≡ x – x² – 1 ≡ 2x (mod P).
  4)  n ≡ 4 (mod 6).  Тогда  (–1)nx2nxn – 1 ≡ x² – x – 1 ≡ – 2x – 2 (mod P).
  5)  n ≡ 5 (mod 6).  Тогда  (–1)nx2nxn – 1 ≡ – x – x² – 1 ≡ 0 (mod P).
  Таким образом, Q делится на P при  n ≡ 1, 5 (mod 6).  В частности, n нечётно.

  б) Как и в задаче 61139, достаточно проверить, делится ли Q' на P.  Q'(x) = n(x + 1)n–1nxn–1n(x2n–2xn–1) (mod P).
  При  n ≡ 1 (mod 3)   x2n–2xn–1 ≡ 1 – 1 = 0 (mod P).
  При  n ≡ 2 (mod 3)   x2n–2xn–1x² – x ≡ – 2x – 1 (mod P).
  Таким образом, Q делится на P² при  n ≡ 1 (mod 6).

  в)  Q" = n(n – 1)((x + 1)n–2xn–2} ≡ – n(n – 1)(x2n–4 + xn–2) ≡ – n(n – 1)(x + x²) ≡ n(n – 1) (mod P).
  Таким образом, Q делится на P³ только при  n = 1.  И действительно, при этом многочлен Q обращается в ноль.


Ответ

При  а) n = 6k ± 1;   б)  n = 6k + 1;   в)  n = 1.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 7
Название Комплексные числа
Тема Неизвестная тема
параграф
Номер 1
Название Комплексная плоскость
Тема Неизвестная тема
задача
Номер 07.076

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .