ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 61141
Темы:    [ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ]
[ Теорема Безу. Разложение на множители ]
[ Комплексные числа помогают решить задачу ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Пусть P(xn) делится на  x – 1.  Докажите, что P(xn) делится на  xn – 1.


Решение 1

Если  x = 1  – корень многочлена P(xn), то его корнем будет каждое из чисел  xk = cos + i sin  (k = 0, ..., n – 1).  Поэтому P(xn) делится на
(x – x0)...(x – xn–1) = xn – 1.


Решение 2

Поделим P(x) на  x – 1  с остатком:  P(x) = (x – 1)Q(x) + r,  где r – число. Тогда  P(xn) = (xn – 1)Q(xn) + r.  По теореме Безу  0 = P(1) = r. Это и значит, что P(xn) делится на  xn – 1.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 7
Название Комплексные числа
Тема Неизвестная тема
параграф
Номер 1
Название Комплексная плоскость
Тема Неизвестная тема
задача
Номер 07.077

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .