Задача 61142

Темы:    [ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

Найдите остаток от деления многочлена  P(x) = x⁶ⁿ + x⁵ⁿ + x⁴ⁿ + x³ⁿ + x²ⁿ + xⁿ + 1  на  Q(x) = x⁶ + x⁵ + x⁴ + x³ + x² + x + 1,  если известно, что n кратно 7.

Решение

Разность  x^kn – 1  делится на  x⁷ – 1,  а значит, и на Q(x). Поэтому  P(x) – 7 = (x⁶ⁿ – 1) + (x⁵ⁿ – 1) + ... + (xⁿ – 1)  делится на Q(x).

Ответ

7.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	7
Название	Комплексные числа
Тема	Неизвестная тема
параграф
Номер	1
Название	Комплексная плоскость
Тема	Неизвестная тема
задача
Номер	07.078