Задача 61154

Темы:    [ Композиции гомотетий ] [ Комплексные числа помогают решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11 Название задачи: Теорема о трёх центрах подобия.

Условие

Докажите при помощи комплексных чисел, что композицией двух гомотетий является гомотетия или параллельный перенос:     причём в первом случае вектор a параллелен прямой A₁A₂, а во втором случае центр результирующей гомотетии A лежит на прямой A₁A₂ и  k = k₁k₂.  Здесь    обозначает гомотетию с центром в A с коэффициентом k.

Решение

  Композиция гомотетий     имеет вид  w = k₁k₂z + k₂(1 – k₁)A₁ + (1 – k₂)A₂.
  Если  k₁k₂ = 1,  то получаем параллельный перенос. Если же  k₁k₂ ≠ 1,  то это гомотетия с коэффициентом k₁k₂, центр A которой находится из уравнения   k₁k₂z + k₂(1 – k₁)A₁ + (1 – k₂)A₂ = k₁k₂(z – A) + A.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	7
Название	Комплексные числа
Тема	Неизвестная тема
параграф
Номер	2
Название	Преобразования комплексной плоскости
Тема	Неизвестная тема
задача
Номер	07.090