|
|
 |
Условие
Неотрицательные числа x, y, z удовлетворяют неравенствам 5 ≤ x, y, z ≤ 8.
Какое наибольшее и наименьшее значение может принимать величина S = 2x²y² + 2x²z² + 2y²z² – x4 – y4 – z4 ?
Подсказка
Раскройте скобки в формуле Герона.
Решение
S = 4x²y² – (x² + y² – z²)² = (2xy – x² – y² + z²)(2xy + x² + y² – z²) = ((x + y)²– z²)(z² – (x – y)²) = (x + y + z)(x + y – z)(x – y + z)(y + z – x).
Рассмотрим треугольник со сторонами x, y, z (неравенства треугольника выполнены по условию). Если его площадь равна s, то по формуле Герона
S = 16s².
Оценка сверху. Пусть x – наименьшая сторона треугольника. Тогда угол между сторонами не превышает 60°, и наибольшая площадь – у равностороннего треугольника со стороной 8, то есть при x = y = z = 8.
Оценка снизу. Пусть x – наибольшая сторона треугольника. Если противолежащий угол острый, то он не меньше 60°, значит, наименьшая площадь – у равностороннего треугольника со стороной 5, то есть при x = y = z = 5. Если противолежащий угол тупой, то из теоремы косинусов видно, что наибольшее значение этого угла достигается, когда x = 8, а y = z = 5. Значит, и площадь наименьшая при этих значениях x, y, z. Но
(5 + 5 + 5)(5 + 5 – 5)³ = 3·54 < (8 + 5 + 5)(5 + 5 – 8)(8 + 5 – 5)² = 3²·5·28.
Ответ
3·54 ≤ S ≤ 3·84.
Источники и прецеденты использования
| книга | |
| Автор | Алфутова Н.Б., Устинов А.В. |
| Год издания | 2002 |
| Название | Алгебра и теория чисел |
| Издательство | МЦНМО |
| Издание | 1 |
| глава | |
| Номер | 8 |
| Название | Алгебра + геометрия |
| Тема | Неопределено |
| параграф | |
| Номер | 1 |
| Название | Геометрия помогает алгебре |
| Тема | Неопределено |
| задача | |
| Номер | 08.010 |
