|
|
 |
Условие
Решите систему
Какой геометрический смысл она имеет?
Решение
1) Пусть abc ≠ 0. Умножим первое уравнение на c, прибавим второе, умноженное на b, и вычтем третье, умноженное на a. Получим
2bcx = c² + b² – a². Аналогично находятся y и z.
2) Если a = b = 0, то и с = 0, а x, y, z – любые числа.
3) Если a = 0, b, с ≠ 0, то bx = c, (b² – c²)x = 0, следовательно, при b = ± c x = ±1, а в остальных случаях решений нет. Из последнего уравнения
y ± z = 0.
Ответ
При abc ≠ 0
При a = 0, если b = с ≠ 0, то (x, y, z) = (1, t, – t); если b = – с ≠ 0, то (x, y, z) = (1, t, t).
При b = 0, если a = с ≠ 0, то (x, y, z) = (t, 1, – t), если a = – с ≠ 0, то (x, y, z) = (t, 1, t).
При c = 0, если a = b ≠ 0, то (x, y, z) = (t, – t, 1), если a = – b ≠ 0, то (x, y, z) = (t, t, 1).
При a = b = с = 0, x, y, z – любые числа.
В остальных случаях решений нет.
Замечания
Если a, b, с – длины сторон треугольника, то x, y, z – косинусы соответствующих углов. Это соображение и подсказывает преобразования в решении.
Источники и прецеденты использования
| книга | |
| Автор | Алфутова Н.Б., Устинов А.В. |
| Год издания | 2002 |
| Название | Алгебра и теория чисел |
| Издательство | МЦНМО |
| Издание | 1 |
| глава | |
| Номер | 8 |
| Название | Алгебра + геометрия |
| Тема | Неопределено |
| параграф | |
| Номер | 1 |
| Название | Геометрия помогает алгебре |
| Тема | Неопределено |
| задача | |
| Номер | 08.012 |
