ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 61173
Темы:    [ Системы линейных уравнений ]
[ Геометрические интерпретации в алгебре ]
[ Синусы и косинусы углов треугольника ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Решите систему

   

Какой геометрический смысл она имеет?


Решение

  1) Пусть  abc ≠ 0.  Умножим первое уравнение на c, прибавим второе, умноженное на b, и вычтем третье, умноженное на a. Получим
2bcx = c² + b² – a².  Аналогично находятся y и z.
  2) Если  a = b = 0,  то и  с = 0,  а x, y, z – любые числа.
  3) Если  a = 0,  b, с ≠ 0,  то  bx = c,  (b² – c²)x = 0,  следовательно, при  b = ± c   x = ±1,  а в остальных случаях решений нет. Из последнего уравнения
y ± z = 0.


Ответ

При  abc ≠ 0  

При  a = 0,  если  b = с ≠ 0,  то  (x, y, z) = (1, t, – t);  если  b = – с ≠ 0,  то  (x, y, z) = (1, t, t).
При  b = 0,  если  a = с ≠ 0,  то  (x, y, z) = (t, 1, – t),  если  a = – с ≠ 0,   то  (x, y, z) = (t, 1, t).
При  c = 0,  если  a = b ≠ 0,  то  (x, y, z) = (t, – t, 1),  если  a = – b ≠ 0,  то  (x, y, z) = (t, t, 1).
При  a = b = с = 0,  x, y, z – любые числа.
В остальных случаях решений нет.

Замечания

Если a, b, с – длины сторон треугольника, то x, y, z – косинусы соответствующих углов. Это соображение и подсказывает преобразования в решении.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 8
Название Алгебра + геометрия
Тема Неопределено
параграф
Номер 1
Название Геометрия помогает алгебре
Тема Неопределено
задача
Номер 08.012

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .