Задача 61174

Темы:    [ Системы алгебраических нелинейных уравнений ] [ Геометрические интерпретации в алгебре ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Положительные числа a, b, c, x, y, таковы, что
    x² + xy + y² = a²,
    y² + yz + z² = b²,
    x² + xz + z² = c².
Выразите величину  xy + yz + xz  через a, b и c.

Подсказка

Равенство  x² + xy + y² = a²  можно трактовать как теорему косинусов в треугольнике со сторонами x, y, a и углом 120°.

Решение

Выпустим из точки O три луча с углами 120° между ними и отложим на них отрезки  OA = z,  OB = x,  OC = y.  По теореме косинусов стороны треугольника ABC равны a, b и c. При этом  ½ (xy + yz + xz) sin 120° = S_OBC + S_OAC + S_OAB = S_ABC,  то есть  

Ответ

  где   p = ½ (a + b + c).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	8
Название	Алгебра + геометрия
Тема	Неопределено
параграф
Номер	1
Название	Геометрия помогает алгебре
Тема	Неопределено
задача
Номер	08.013