ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 61273
Темы:    [ Кубические многочлены ]
[ Методы решения задач с параметром ]
[ Фазовая плоскость коэффициентов ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Изобразите на фазовой плоскости Opq множества точек  (p, q),  для которых все корни уравнения  x³ + px + q = 0  не превосходят по модулю 1.


Решение

Корневые прямые  q = p + 1  и  q = – p – 1  с угловыми коэффициентами ± 1 касаются дискриминантной кривой в точках  (–3, –2)  и  (–3, 2)  (см. задачу 61271). В точках дискриминантной кривой, находящиеся левее этих точек, касательная к ней имеет угловой коэффициент, по модулю больший 1. Легко видеть, что все эти касательные "заметают" область, состоящую из всех точек, находящихся под одной из прямых указанных корневых прямых. Из каждой точки этой области (включая границы) к дискриминантной прямой можно провести хотя бы одну касательную, угловой коэффициент которой по модулю больше 1, что соответствует наличию "плохого" корня уравнения. Таким образом ответом является оставшаяся часть плоскости.


Ответ

Множество точек, заданное неравенством  p > |q| – 1 (см. рис.).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 9
Название Уравнения и системы
Тема Неопределено
параграф
Номер 1
Название Уравнения третьей степени
Тема Уравнения высших степеней. Возвратные уравнения
задача
Номер 09.022

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .