а) На каждой стороне десятиугольника (не обязательно выпуклого) как на диаметре построили окружность. Может ли оказаться, что все эти окружности имеют общую точку, не совпадающую ни с одной вершиной десятиугольника?
б) Решите ту же задачу для одиннадцатиугольника.

   Решение

Темы:    [ Уравнения высших степеней (прочее) ] [ Тригонометрические замены ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Сколько корней на отрезке  [0, 1]  имеет уравнение   8x(1 – 2x²)(8x⁴ – 8x² + 1) = 1?

Решение

Заметим, что  8x⁴ – 8x² + 1 = 2(2x² – 1)² – 1.  Сделав замену  x = cos φ,  получим  8 cos φ cos 2φ cos 4φ = – 1.  Домножив на sin φ, получим  sin 8φ = – sin φ,
откуда  8φ = – φ + 2kπ  или  8φ = π + φ + 2kπ,  то есть  x = cos ^2kπ/₉  или  x = cos (^π/₇ + ^2kπ/₇).  На отрезке  [0, 1]  лежат четыре корня уравнения:  cos ^2π/₉, cos ^4π/₉, cos ^π/₇  и  cos ^3π/₇  (корень  x = 1  – посторонний, он возник при умножении на sin φ).

Ответ

Четыре корня.

Замечания

Всего указанное уравнение 7-й степени имеет 7 корней: к указанным в решении добавляются еще
cos ^2π/₃ = – ½,  cos ^8π/₉ = – cos ^π/₉  и  cos ^5π/₇ = – cos ^2π/₇.

Источники и прецеденты использования