ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66103
Темы:    [ Невыпуклые многоугольники ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

а) На каждой стороне десятиугольника (не обязательно выпуклого) как на диаметре построили окружность. Может ли оказаться, что все эти окружности имеют общую точку, не совпадающую ни с одной вершиной десятиугольника?
б) Решите ту же задачу для одиннадцатиугольника.


Решение

  Наличие общей точки у всех построенных окружностей равносильно существованию точки, из которой каждая сторона многоугольника видна под прямым углом.

  а) См. рис.

  б) Пусть нашлась требуемая точка O для многоугольника A1...A11. Как показано выше,  OA1OA2 ⊥ ... ⊥ OA11OA1.  Следовательно,
OA1 || OA3 || ... || OA11 || OA2.  Противоречие.


Ответ

а) Может;  б) не может.

Замечания

5 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
номер/год
Номер 38
Дата 2016/17
вариант
Вариант весенний тур, базовый вариант, 8-9 класс
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .