Задача 61316
|
|
 |
Условие
Докажите, что для чисел {xn} из задачи 61297 можно в явном виде указать разложения в цепные дроби: xn+1 = [1;].
Оцените разность |xn – |.
Решение
Подходящие дроби Pk/Qk к разложению = [1; (2)] в цепную дробь удовлетворяют рекуррентным соотношениям P–1 = 1, P0 = 1, Pk = 2Pk–1 + Pk–2;
Q–1 = 0, Q0 = 1, Qk = 2Qk–1 + Qk–2 (см. задачи 60613, 60601). Отсюда по индукции легко вывести соотношения Pk = Qk + Qk–1; 2Qk = Pk + Pk–1.
Пусть xn = Pk/Qk, где k = 2n–1 – 1. Дробь xn+1 получается из дроби заменой последней двойки на 1 + Pk/Qk. По аналогии с формулой из решения задачи 60616 имеем
Таким образом, {xn} – последовательность из задачи 61297.
Поскольку Qk > 2Qk–1 при k > 2, то Qk > 2k.
Источники и прецеденты использования
| книга | |
| Автор | Алфутова Н.Б., Устинов А.В. |
| Год издания | 2002 |
| Название | Алгебра и теория чисел |
| Издательство | МЦНМО |
| Издание | 1 |
| глава | |
| Номер | 9 |
| Название | Уравнения и системы |
| Тема | Неопределено |
| параграф | |
| Номер | 3 |
| Название | Итерации |
| Тема | Алгебраические уравнения и системы уравнений (прочее) |
| задача | |
| Номер | 09.065 |
