ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 61335
Темы:    [ Окружности (прочее) ]
[ Вписанные и описанные многоугольники ]
[ Правильные многоугольники ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Применение тригонометрических формул (геометрия) ]
[ Тождественные преобразования (тригонометрия) ]
Сложность: 3
Классы: 9,10,11
Название задачи: Метод Архимеда.
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Рассмотрим окружность радиуса 1. Опишем около нее и впишем в нее правильные n-угольники. Обозначим их периметры через Pn (для описанного) и pn (для вписанного).
   а) Найдите P4, p4, P6 и p6.
   б) Докажите, что справедливы следующие рекуррентные соотношения:    P2n = ,        p2n =         (n ≥ 3).
   в) Найдите P96 и p96. Докажите неравенства   310/71 < π < 31/7.


Решение

  б) Обозначим через an и bn стороны правильных n-угольников – вписанного и описанного. Cередины K, L, M сторон AB, BC, CD правильного описанного 2n-угольника являются последовательными вершинами правильного вписанного 2n-угольника. Кроме того,   KM – сторона правильного вписанного n-угольника, точка E пересечения прямых AB и CD – вершина правильного описанного n-угольника, а K и M – середины его сторон.

  Из очевидного подобия треугольников KEM и BEC получаем      то есть  
  Из подобия треугольников KBL и KLM получаем     то есть   .
  Учитывая, что  pn = nanPn = nbn,  и получаем требуемые соотношения.

  в) Используя формулы из б) получаем:

     

     

  Продолжая, можно дойти до  P96 ≈ 6,285429,  p96 ≈ 6,282064  и убедиться в том, что  620/71 ≈ 6,281690 < p96 < P96 < 62/7 ≈ 6,285714.  Осталось заметить, что
pn < 2π < Pn  при любом n.


Ответ


в)   P96 ≈ 6,285429,  p96 ≈ 6,282064.

Замечания

   1. Поскольку  an = 2 sin π/n,   bn = 2 tg π/n, п. б) сводится к проверке тригонометрических тождеств

   2. Эта задача показывает, что метод Архимеда вычисления числа π крайне неэффективен.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 9
Название Уравнения и системы
Тема Неопределено
параграф
Номер 3
Название Итерации
Тема Алгебраические уравнения и системы уравнений (прочее)
задача
Номер 09.085

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .