Задача 61335

Темы:    [ Окружности (прочее) ] [ Вписанные и описанные многоугольники ] [ Правильные многоугольники ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Применение тригонометрических формул (геометрия) ] [ Тождественные преобразования (тригонометрия) ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11 Название задачи: Метод Архимеда.

Условие

Рассмотрим окружность радиуса 1. Опишем около нее и впишем в нее правильные n-угольники. Обозначим их периметры через P_n (для описанного) и p_n (для вписанного).
   а) Найдите P₄, p₄, P₆ и p₆.
   б) Докажите, что справедливы следующие рекуррентные соотношения:    P_2n = ,        p_2n =         (n ≥ 3).
   в) Найдите P₉₆ и p₉₆. Докажите неравенства   3¹⁰/₇₁ < π < 3¹/₇.

Решение

  б) Обозначим через a_n и b_n стороны правильных n-угольников – вписанного и описанного. Cередины K, L, M сторон AB, BC, CD правильного описанного 2n-угольника являются последовательными вершинами правильного вписанного 2n-угольника. Кроме того,   KM – сторона правильного вписанного n-угольника, точка E пересечения прямых AB и CD – вершина правильного описанного n-угольника, а K и M – середины его сторон.

  Из очевидного подобия треугольников KEM и BEC получаем      то есть  
  Из подобия треугольников KBL и KLM получаем     то есть   .
  Учитывая, что  p_n = na_n,  P_n = nb_n,  и получаем требуемые соотношения.

  в) Используя формулы из б) получаем:

     

     

  Продолжая, можно дойти до  P₉₆ ≈ 6,285429,  p₉₆ ≈ 6,282064  и убедиться в том, что  6²⁰/₇₁ ≈ 6,281690 < p₉₆ < P₉₆ < 6²/₇ ≈ 6,285714.  Осталось заметить, что
p_n < 2π < P_n  при любом n.

Ответ

в)   P₉₆ ≈ 6,285429,  p₉₆ ≈ 6,282064.

Замечания

   1. Поскольку  a_n = 2 sin ^π/n,   b_n = 2 tg ^π/n, п. б) сводится к проверке тригонометрических тождеств

   2. Эта задача показывает, что метод Архимеда вычисления числа π крайне неэффективен.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	9
Название	Уравнения и системы
Тема	Неопределено
параграф
Номер	3
Название	Итерации
Тема	Алгебраические уравнения и системы уравнений (прочее)
задача
Номер	09.085