Задача 61377

Темы:    [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Классические неравенства ] [ Тождественные преобразования ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Условие

Докажите неравенство для положительных значений переменных:   a³b + b³c + c³a ≥ abc(a + b + c).

Решение

  Можно считать, что a – наименьшее их данных чисел. Если при этом  a ≤ b ≤ c,  то
a³b + b³c + c³a – abc(a + b + c) = c²a(c – b) + b²c(b – a) – a²b(c – a) ≥ a²b(c – b) + a²b(b – a) – a²b(c – b + b – a) ≥ 0.
  Если же  a ≤ c ≤ b,  то  a³b + b³c + c³a – abc(a + b + c) = b²c(b – a) – c²a(b – c) – a²b(c – a) ≥ b²c(b – c + c – a) – b²c(b – a) – b²c(c – a) ≥ 0.

Замечания

Можно также воспользоваться транснеравенством (см. задачу 61385).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	10
Название	Неравенства
Тема	Алгебраические неравенства и системы неравенств
параграф
Номер	1
Название	Различные неравенства
Тема	Алгебраические неравенства (прочее)
задача
Номер	10.026