ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 61413
Темы:    [ Алгебраические неравенства (прочее) ]
[ Классические неравенства ]
[ Неравенство Иенсена ]
Сложность: 5-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что если  α < β  и  αβ ≠ 0,   то  Sα(x) ≤ Sβ(x).
Определение средних степенных Sα(x) можно посмотреть в справочнике.


Решение

  Пусть  

      Выражение в скобках неотрицательно в силу неравенства Иенсена (см. задачу 61407), примененного к выпуклой функции  x ln x  и точкам     Следовательно,  Sα(x) – возрастающая функция от α, что доказывает утверждение задачи для случаев  α < β < 0  и  0 < α < β.  Случай   α < 0 < β разобран в задаче 61414.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 10
Название Неравенства
Тема Алгебраические неравенства и системы неравенств
параграф
Номер 3
Название Выпуклость
Тема Алгебраические неравенства (прочее)
задача
Номер 10.062

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .