Задача 61472

Темы:    [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Специальные многочлены (прочее) ] [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Укажите явный вид коэффициентов в многочленах F_n(x) и L_n(x). Решите задачи 60581 и 60582, используя многочлены Фибоначчи.
Про многочлены Фибоначчи и Люка смотри статьи в справочнике.

Решение

  а) Нетрудно понять, что F_n – приведённый многочлен степени  n – 1,  причём при (не)чётном n коэффициенты при (не)чётных степенях x этого многочлена равны нулю. Пусть     Тогда из равенства  F_n+1(x) = xF_n + F_n–1(x)  получаем     (мы считаем     при
k < 0  и  k > ⁿ/₂).  Это соотношение позволяет найти все     зная     Но такому же рекуррентному соотношению удовлетворяют и биномиальные коэффициенты     причём     Значит,    

  Заметим, что  L_n(x) = 2F_n+1(x) – xF_n(x).  Действительно многочлены справа удовлетворяют как начальным условиям, так и рекуррентному соотношению для многочленов Люка. Поэтому

  б) Числа F_n(1) удовлетворяют определению последовательности Фибоначчи. Поэтому  

  В задаче 60582 фактически требуется найти числа  S_n = (–1)ⁿF_n+1(–1).  Эта последовательность удовлетворяет начальным условиям  S₀ = S₁ = 1  и рекуррентному соотношению  S_n+1 = S_n – S_n–1.  Нетрудно проверить, что она периодическая с периодом 6.

Ответ

а)  

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	11
Название	Последовательности и ряды
Тема	Последовательности
параграф
Номер	2
Название	Рекуррентные последовательности
Тема	Рекуррентные соотношения
задача
Номер	11.045