ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 61509
Темы:    [ Раскладки и разбиения ]
[ Производящие функции ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Пусть p(n) – количество разбиений числа n (определение разбиений смотри здесь). Докажите равенства:

p(0) + p(1)x + p(2)x '' + ...  =  (1 + x + x² + ...)...(1 + xk + x2k + ...)...  =  (1 – x)–1(1 – x²)–1(1 – x³)–1...

(По определению считается, что  p(0) = 1.)


Решение

Представим n в виде суммы k1 единиц, k2 двоек, k3 троек, … . Поставим в соответствие такому разбиению одночлен  xn = xk1x2k2x3k3...,
где множитель xk1 берется из первой скобки, x2k2 – из второй, x3k3 – из третьей, ... . Ясно, что количество таких одночленов (коэффициент
при xn после раскрытия скобок и приведения подобных) равно p(n), что и доказывает левое равенство.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 11
Название Последовательности и ряды
Тема Последовательности
параграф
Номер 3
Название Производящие функции
Тема Производящие функции
задача
Номер 11.082

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .