ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64334
Темы:    [ Углы между биссектрисами ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Биссектрисы AA1 и CC1 прямоугольного треугольника ABC  (∠B = 90°)  пересекаются в точке I. Прямая, проходящая через точку C1 и перпендикулярная прямой AA1, пересекает прямую, проходящую через A1 и перпендикулярную CC1, в точке K. Докажите, что середина отрезка KI лежит на отрезке AC.


Решение

  Пусть данные прямые пересекают сторону AC в точках M и N соответственно (см. рис.).

  Заметим, что треугольник C1AM – равнобедренный (биссектриса совпадает с высотой). Тогда треугольник C1IM – также равнобедренный  (C1I = MI).  Но  ∠AIC1 = 180° – ∠AIC = 45°  (см. задачу 55448), то есть  ∠CIM = 90°.  Следовательно, прямые MI и KA1 параллельны. Аналогично  NI || C1K,  то есть MINK – параллелограмм, и его диагонали делятся точкой пересечения пополам.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер 11 (2013 год)
Дата 2013-04-14
класс
Класс 8-9 класс
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .