Задача 64334
|
|
 |
Условие
Биссектрисы AA1 и CC1 прямоугольного треугольника ABC (∠B = 90°) пересекаются в точке I. Прямая, проходящая через точку C1 и перпендикулярная прямой AA1, пересекает прямую, проходящую через A1 и перпендикулярную CC1, в точке K. Докажите, что середина отрезка KI лежит на отрезке AC.
Решение
Пусть данные прямые пересекают сторону AC в точках M и N соответственно (см. рис.).
Заметим, что треугольник C1AM – равнобедренный (биссектриса совпадает с высотой). Тогда треугольник C1IM – также равнобедренный (C1I = MI). Но ∠AIC1 = 180° – ∠AIC = 45° (см. задачу 55448), то есть ∠CIM = 90°. Следовательно, прямые MI и KA1 параллельны. Аналогично NI || C1K, то есть MINK – параллелограмм, и его диагонали делятся точкой пересечения пополам.
