|
|
 |
Условие
Даны различные действительные числа a, b, с. Докажите, что хотя бы два из уравнений (x – a)(x – b) = x – c, (x – b)(x – c) = x – a,
(x – c)(x – a) = x – b имеют решение.
Решение 1
Обозначим f1(x) = (x – b)(x – c) – (x – a), f2(x) = (x – c)(x – a) – (x – b) и f3(x) = (x – a)(x – b) – (x – c). Предположим, что две из этих функций – скажем, f1 и f2 – корней не имеют. Далее можно рассуждать по-разному.
Первый способ. По предположению f1(x) > 0 и f2(x) > 0 при всех x. Однако трёхчлен
f1(x) + f2(x) = (x – c)(x – b + x – a) – (x – a + x – b) = (2x – a – b)(x – c – 1) имеет, например, корень x0 = c + 1. Противоречие.
Второй способ. Дискриминанты трёхчленов f1(x) и f2(x) отрицательны, то есть (b + c + 1)² < 4(bc + a) и (c + a + 1)² < 4(ca + b). Эти неравенства переписываются в виде (b – c – 1)² < 4(a – b) и (c – a + 1)² < 4(b – a). Значит, оба числа в правых частях положительны, что невозможно.
Решение 2
Пусть для определённости a < b < c. Рассмотрим графики функций fbc(x) = (x – b)(x – c) и fa(x) = x – a. При x = a точка первого графика выше точки второго: fbc(a) = (a – b)(a – c) > 0 = fa(a), а при x = b – ниже: fbc(b) = 0 < b – a = fa(b). Значит, уравнение fbc(x) = fa(x) имеет корень на отрезке [a, b] (рис. слева).
