|
|
 |
Условие
На сторонах остроугольного треугольника ABC вне него построены квадраты CAKL и CBMN. Прямая CN пересекает отрезок AK в точке X, а прямая CL пересекает отрезок BM в точке Y. Точка P, лежащая внутри треугольника ABC, является точкой пересечения описанных окружностей треугольников KXN и LYM. Точка S – середина отрезка AB. Докажите, что ∠ACS = ∠BCP.
Решение
Пусть Q – точка пересечения прямых KL и MN. Поскольку ∠QLC = ∠NMY = 90°, четырёхугольник QLYM – вписанный. Аналогично четырёхугольник QNXK – вписанный. Тем самым, Q – вторая точка пересечения описанных окружностей ω1 и ω2 треугольников KXN и LYM соответственно.
Прямоугольные треугольники CAX и CBY подобны, так как
∠XCA = 90° – ∠ACB = ∠YCB. Отсюда XC·CN = XC·CB = YC·CA = YC·CL, то есть степени точки C
относительно окружностей ω1 и ω2 равны. Значит, C лежит на их радикальной оси PQ.
Достроим треугольник ABC до параллелограмма ACBD. Так как ∠CAD = 180° – ∠ACB = ∠LCN, CA = CL и AD = CB = CN, треугольники CAD и LCN равны. Отсюда ∠ACS = ∠ACD = ∠CLN. Так как четырёхугольник QLCN – вписанный, а BC || MN, то ∠CLN = ∠CQN = ∠PCB. Итак,
∠ACS = ∠CLN = ∠PCB.
Замечания
Можно показать, что треугольники PAC и PCB подобны; так что P – центр поворотной гомотетии, переводящей квадрат AKLC в квадрат CNMB.
