Задача 64357

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вневписанные окружности ] [ Биссектриса угла (ГМТ) ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Условие

Авторы: Полянский А., Емельянов Л.А.

Окружность с центром I, вписанная в треугольник ABC, касается сторон BC, CA, AB в точках A₁, B₁, C₁ соответственно. Пусть I_a, I_b, I_c – центры вневписанных окружностей треугольника ABC, касающихся соответственно сторон BC, CA, AB. Отрезки I_aB₁ и I_bA₁ пересекаются в точке C₂. Аналогично отрезки I_bC₁ и I_cB₁ пересекаются в точке A₂, а отрезки I_cA₁ и I_aC₁ – в точке B₂. Докажите, что I является центром описанной окружности треугольника A₂B₂C₂.

Решение

Треугольники A₁C₁B₂ и I_cI_aB₂ подобны  (A₁C₁ || I_cI_a  как перпендикуляры к биссектрисе угла B). Аналогично подобны треугольники A₁B₁C₂ и I_bI_aC₂. Отсюда  .  Точки B₁ и C₁ симметричны относительно прямой AI_a; а поскольку  ,  точки B₂ и C₂ также симметричны относительно неё, и  IB₂ = IC₂.  Аналогично  IA₂ = IC₂,  что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2012-2013
этап
Вариант	5
класс
Класс	10
задача
Номер	10.7