ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64357
Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Вневписанные окружности ]
[ Биссектриса угла (ГМТ) ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Окружность с центром I, вписанная в треугольник ABC, касается сторон BC, CA, AB в точках A1, B1, C1 соответственно. Пусть Ia, Ib, Ic – центры вневписанных окружностей треугольника ABC, касающихся соответственно сторон BC, CA, AB. Отрезки IaB1 и IbA1 пересекаются в точке C2. Аналогично отрезки IbC1 и IcB1 пересекаются в точке A2, а отрезки IcA1 и IaC1 – в точке B2. Докажите, что I является центром описанной окружности треугольника A2B2C2.


Решение

Треугольники A1C1B2 и IcIaB2 подобны  (A1C1 || IcIa  как перпендикуляры к биссектрисе угла B). Аналогично подобны треугольники A1B1C2 и IbIaC2. Отсюда  .  Точки B1 и C1 симметричны относительно прямой AIa; а поскольку  ,  точки B2 и C2 также симметричны относительно неё, и  IB2 = IC2.  Аналогично  IA2 = IC2,  что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2012-2013
этап
Вариант 5
класс
Класс 10
задача
Номер 10.7

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .